Le joueur de l’Etoile rouge de belgrade Lorenzo Ebicilio aux prises avec Neymar, le 11 décembre, à Belgrade. / FRANCK FIFE / AFP

Malgré des performances très moyennes en phase de groupes de la Ligue des champions (4 victoires seulement en 12 matchs), le Paris-Saint-Germain et l’Olympique lyonnais sont parvenus, in extremis, à se qualifier pour les huitièmes de finale de la compétition européenne. Tous les clubs qualifiés sont désormais connus, et le tirage au sort des huitièmes de finale aura lieu lundi 17 décembre à midi à Nyon (Suisse), au siège de l’UEFA.

Comme chaque année, voici donc venu le moment pour les clubs et les fans d’étudier la liste des adversaires potentiels et de jouer à imaginer le pire et le meilleur tirage possibles. C’est aussi le moment de s’adonner à un petit exercice de probabilités, plus subtil qu’il n’y paraît à première vue.

Les trois règles de base du tirage au sort

1. un vainqueur de groupe est opposé à un deuxième de groupe.
2. deux clubs issus d’un même groupe ne peuvent être tirés l’un contre l’autre.
3. deux clubs d’un même pays ne peuvent s’affronter.

Les huit vainqueurs de groupe sont : Dortmund, Barcelone, PSG, Porto, Bayern Munich, Manchester City, Real Madrid, Juventus.

Les huit deuxièmes de groupe correspondants sont : Atlético Madrid, Tottenham, Liverpool, Schalke 04, Ajax Amsterdam, Lyon, AS Roma, Manchester United.

Une première bonne nouvelle pour le PSG

Le club parisien évitera Barcelone et le Real Madrid, ses bourreaux lors des deux dernières saisons, car eux aussi ont terminé à la première place de leur groupe.

Les adversaires potentiels du PSG sont tous les deuxièmes de groupe, sauf Liverpool (qui figurait dans son groupe de qualification) et Lyon.

On pourrait penser que Paris a une chance sur six de tomber sur chacun de ses six adversaires potentiels… mais c’est un petit peu plus compliqué que cela.

Comparons par exemple deux adversaires possibles du PSG : l’Atlético Madrid et l’Ajax Amsterdam. L’Ajax a sept adversaires potentiels : tous les vainqueurs de groupe, sauf le Bayern, qu’il a affronté en poules.

L’Atlético, lui, n’a que cinq adversaires possibles, puisqu’il ne peut rencontrer Dortmund, issu du groupe A lui aussi, Barcelone et le Real Madrid.

Cela augmente mécaniquement la probabilité que le PSG tombe sur l’Atlético.

Le mode opératoire du tirage complique un peu les simulations

On pourrait dès lors penser qu’il s’agit d’un simple exercice de dénombrement : on liste tous les résultats admissibles du tirage (il y en a 3 694 cette année), on compte, par exemple, dans combien de cas le PSG rencontre l’Atlético (696 cas sur 3 694), et on en déduit que le PSG a 696/3 694 = 18,8 % de chances de tomber sur l’Atlético. Et que Manchester City a 1 068/3 694 = 28,9 % de chances de tomber sur le club de Griezmann.

C’est presque vrai… mais le mode opératoire du tirage vient compliquer encore un peu la chose.

Ce raisonnement de dénombrement serait correct si le tirage consistait à tirer une boule au sort parmi 3 694, chaque boule représentant un tableau de huitièmes de finale admissible. Or, ce n’est pas comme cela que l’UEFA procède.

Les deuxièmes de groupe sont placés dans une urne, et à chaque fois qu’un deuxième de groupe est tiré au sort, un algorithme fournit la liste de ses adversaires possibles parmi les vainqueurs de groupe encore disponibles, puis un club est tiré au sort dans cette liste.
L’algorithme n’est pas aussi simple qu’on pourrait le croire puisqu’il doit prévenir toute impasse future.

Atlético Madrid ou Shalke 04, Dortmund, Barcelone ou Real

J’ai simulé 2 millions de tirages, en suivant la procédure officielle de l’UEFA, pour obtenir les vraies probabilités (à 0,1 % près).

Mauvaise nouvelle pour le PSG : son adversaire le plus probable est aussi son adversaire a priori le plus dangereux, l’Atlético Madrid, mais avec une probabilité de seulement 18,5 %. Schalke 04 suit avec 18 %. L’adversaire le moins probable du PSG est l’Ajax Amsterdam (13,3 % de chances).

Quant à Lyon, son adversaire le plus probable est le Borussia Dortmund (17,5 %), suivi de près par Barcelone (17,3 %) et le Real Madrid (17,1 %), alors que son adversaire le moins probable est aussi son adversaire a priori le plus accessible, Porto (14,6 %).

Le huitième de finale le plus probable est Manchester City-Atlético (28,2 %), suivi par Manchester City-Schalke 04 (27,3 %).

Dès les quarts de finale, le tirage au sort devient intégral, sans contraintes, donc beaucoup plus lisible… mais bien moins drôle aux yeux du mathématicien !